Ball auf schiefer Ebene

[Chandler12]

Hallo, ich komme bei meinem Problem absolut nicht weiter (obwohl es eigentlich nicht schwer ist (denke ich mal), aber ihc habe da irgendwie ein Brett vorm Kopf.

Ich möchte eine Differentialgleichung vom Ball auf einer Schiefen Ebene aufstellen (Eingang = Winkel; Ausgang = Beschleunigung), die alles berücksichtigt. Dort kenne ihc zwei Wege, um dies zu erstellen
1. Kräftegleichgewicht
2. Energieerhaltungssatz

Kräftegleichgewicht:
[tex]F_{Hangabtriebskraft}=m\cdot g\cdot \sin( \alpha) [/tex]
[tex]F_{Haftreibung}=u_{Haftreibung}\cdot m\cdot g\cdot \cos( \alpha) [/tex]
[tex]F_{Gleitreibung}=u_{Gleitreibung}\cdot m\cdot g\cdot \cos( \alpha) [/tex]
[tex]F_{Trägheit}=m\cdot \ddot{x} [/tex]

Daraus könnte ich das Kräftegleichgewicht bilden
[tex]F_{Hangabtriebskraft} =F_{Haftreibung} +F_{Gleitreibung} +F_{Trägheit} [/tex]

Damit würde ich aber ja nicht berücksichtigen, ob es sich um einer Kugel oder Zylinder handelt.

Energieerhaltungssatz
[tex]E_{pot}=m\cdot g\cdot \sin( \alpha) \cdot x[/tex]
[tex]E_{kin,trans}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \dot{x} ^{2} [/tex]
[tex]E_{kin,rot}=\frac{1}{2}\cdot J\cdot w ^{2} [/tex]
mit
[tex]w=\frac{x}{radius} [/tex]
und
[tex]J=\frac{2}{5}\cdot m\cdot radius^{2} [/tex]

Damit könnte cih den Energieerhaltungssatz anwenden. Nicht berücksichtigen würde ich dabei allerdings die Trägheit, sowie die Reibung.

Wie komme ich denn auf die fehlenden Kräfte bzw. Energien?

Wäre für jeden Hinweis dankbar

Chandler12

 

[Benutzer155553]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Also die DGL ist insgesamt falsch aufgestellt.

Bei translativen Problemen stellt man die DGL wie folgt auf:

[tex]\vec{F} = m \vec{a} = m \vec{\ddot{x} } = \bigsum_{i=1}^n~\vec{F_i} [/tex]

Dh. die am Körper wirkende Kraft ist die Superposition aller äußeren Kräfte, das ist das recht unbekannte 4. Newtonsche Axiom, bzw. ursprünglich ein Zusatz zu den gewöhnlichen 3 Axiomen.

Du betrachtest nun allerdings einen starren Körper, der eine rotative Bewegung ausführt, hier bietet es sich an die Drehmomente zu betrachten, dh. eine DGL für den Winkel [tex]\varphi [/tex], da der Winkel mithilfe des Radius in eindeutiger Beziehung stehen:

[tex]\vec{D} = J\dot{\omega } = J\ddot{\varphi} = \bigsum_{i=1}^n~ \vec{D_i} [/tex]

Beachte beim Aufstellen der linken Seite auch den Satz von Steiner!

 

[dobi1982]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hallo

Ich möchte eine Differentialgleichung vom Ball auf einer Schiefen Ebene aufstellen (Eingang = Winkel; Ausgang = Beschleunigung), die alles berücksichtigt.

Mal noch ein paar Fragen meinerseits zur Aufgabenstellung.

1.) Wenn du alles berücksichtigen musst, und du Haftreibung sowie Gleitreibung für den Kräfteansatz berücksichtigst, würde das bedeuten, dass die Kugel mit Schlupf herunterrollt. Dann wird es ein bischen kniffelig, da dann der Zusammenhang [tex]\dot{x} =\omega \cdot r[/tex] nicht mehr gilt (übrigens gilt nicht, dass [tex]\omega =\frac{x}{r} [/tex]). Also kann es sein, dass du nur Haftreibung also nur reines Rollen berücksichtigen musst?

2.) Was meinst du mit Winkel als Eingang und Beschleunigung als Ausgang, bzw. auf was beziehen sich die Größen? Winkel= alpha (zwar wenig sinnvoll) oder Winkel=Drehwinkel phi der Kugel; und Beschleunigung= translatorisch oder rotatorisch der Kugel?

Teils kann man sich das zwar denken was gemeint ist, aber es ist halt nicht so eindeutig. Vor allem macht es keinen Sinn, den Drehwinkel der Kugel und die Translatorische Koordinate x als Ein-und Ausgang zu benutzen, da diese kinematisch miteinander eindeutig verknüpft sind (außer wenn die Kugel mit Schlupf rollt, aber dann wirds eh sehr eklig ;-) )

Ist klar, dass das dir nicht sehr viel weiterhilft jetzt, aber es wäre schon gut oben genannte Punkte zu klären.

Gruß

 

[Chandler12]

AW: Ball auf schiefer Ebene

hallo, PicardLindeloef:
deine Antwort habe ich noch nicht so ganz verstanden, da muss ich noch ein bisschen nachdenken (ich denke mal ich höre für heute auf). Nichts desto trotz schon einmal danke.

hallo dobi1982:
zu 1. Ich muss gar nichts machen.
Ne, dies ist eine von mir selbst erstellte aufgabe, welche ich zu übungszwecken und vielleicht weiteres vorhaben mal lösen möchte. Mit [tex]w=\frac{x}{r} [/tex] habe ich mich verschrieben. Es sollte heissen [tex]w=\frac{\dot{x} }{r} [/tex].
Aber wieso gillt dieser Zusammenhang nicht mehr? Das kommt doch von der Geometrie.
zu 2. Der Winkel alpha bezog sich auf den Winkel der Ebene und die beschleunigung auf die translatorische.
Auch dir ein recht herzliches danke für deine Antwort

 

[Derfnam]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Damit könnte cih den Energieerhaltungssatz anwenden. Nicht berücksichtigen würde ich dabei allerdings die Trägheit, sowie die Reibung.

Hallo,
ohne Reibung würde der Ball nur gleiten/rutschen, nicht rollen.

Gruß:
Manni

 

[dobi1982]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hallo

Aber wieso gillt dieser Zusammenhang nicht mehr? Das kommt doch von der Geometrie.

Das schon. Nennt sich kinematische Beziehnung. Allerdings gilt die nur, wenn reines Rollen
ohne Schlupf vorliegt.

Ich habe mir die Aufgabe nochmal durch den Kopf gehen lassen. Dynamik ist bei mir schon ein paar
Jährchen her, daher hoffe ich, nun nichts falsches zu erzählen.

Also im Fall des reinen Abrollens der Kugel ohne sonstige Verluste (Deformation etc.) ist es recht einfach:
Die wirkenden Kräfte auf die Kugel sind einmal die Hangabtriebskraft, die Trägheitskraft und die Haftreibkraft
(ohne Gleitreibungskraft). Die hast du schon btragsmäßig richtig hingeschrieben.

Damit würde ich aber ja nicht berücksichtigen, ob es sich um einer Kugel oder Zylinder handelt.

Musst du im Grunde auch nicht, da die konstante Haftreibkraft keinen Verlust darstellt, sondern die
Ursache, dass die Kugel in Rotation gerät. Diese Kraft erzeugt nämlich ein Drehmoment mit Hebelarm r
um den Kugelmittelpunkt. Dabei gilt:

[tex]J\cdot \ddot{\varphi } =F_{Haft}\cdot r[/tex]


Das ist denke ich das, was PicardLindeloef anfangs meinte.

Da hier keine Energie dissipiert wird (also Reibverluste auftreten) musst du das bei dem Ansatz
über die Energie auch nicht berücksichtigen.

Der zweite Fall wäre reines Rutschen (voller Schlupf; vergleichbar mit dem Blockieren der Vorderräder beim Bremsen ohne ABS).
Hierbei kommt es zu keiner Rotation der Kugel, aber dafür
zu Reigungsverlusten. Unter Annahme eines konstanten alphas und µG = const, ist die Reibkraft
konstant und für die dissipierte Energie gilt dann
[tex]E_{diss}=F_{Reib}\cdot x[/tex]

Für den dritten Fall wird es schwer. Hier kommt es zu einer Überlagerung von Rotation und Gleiten,
(also Teil-Schlupf, bei der Analogie mit dem Auto passiert das bei jedem konstrollierten Bremsen und nennt sich Bremsschlupf oder
Antriebsschlupf beim Beschleunigen) und genau da gilt die schöne kinematische Beziehnung von oben nicht mehr. Es wirkt zwar
immernoch die Reibkraft, die ein Moment erzeugt und so die Kugel zum Rotieren bringt, aber zusätzlich
kommt es zu einer Relativbewegung zwischen Ebene und tiefstem Punkt der Kugel (ist ein bischen schwer
das anschaulich zu beschreiben)
In dem Fall wüßte ich jetzt keinen einfachen Lösungsansatz.

Gruß

 

[Benutzer155553]

AW: Ball auf schiefer Ebene

[tex]J\cdot \ddot{\varphi } =F_{Haft}\cdot r[/tex]


Das ist denke ich das, was PicardLindeloef anfangs meinte.

Wenn ich dich nun nicht falsch verstehe, dann meinte ich das tatsächlich, allerdings würde ich die Kraft F_Haft in F_Hangabtrieb umbenennen, da sie prinzipiell äquivalent sind und um zu verdeutlichen um welche Kraft es sich handelt.
Ich würde aber zunächst einmal um Missverständnisse vorzubeugen eine Skizze erstellen und die entsprechenden Drehpunkte die man betrachtet einzeichnen. Es gibt nämlich verschiedene Sichtweisen und Ansätze diesen Fall zu lösen.

Fall 2 wird denke ich uninteressant sein, dabei reduziert sich das Problem schließlich auf eine rein Translative Bewegung und man könnte auch einen Klotz auf einer Schiefen Ebene mit Reibung betrachten

Bei Fall 3 muss ich ebenfalls passen, ich wüsste dabei weder einen einfachen noch einen komplizierten Ansatz, ich Frage mich ob man das überhaupt ohne weiteres Analytisch behandeln kann, bzw. ob man brauchbare Ergebnisse erzielen kann.

Mein Vorschlag: Stelle zunächst einmal die DGL auf bei dem nur die Reibung berücksichtigt wird, die dazu führt das die Kugel ins Rollen gerät, die aber darüber hinaus keine weiteren Kräfte auf die Kugel ausübt.
Das wäre nach deinem Eröffnungspost in meinen Augen die erste Hürde die zu überwinden ist. Danach lässt sich die Betrachtung natürlich auch Verfeinern, insbesondere hat man dann schonmal einen gemeinsamen Ausgangspunkt.

 

[dobi1982]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hallo

Also habe mal eine kleine Skizze gemacht und zusätzlich die komplette Rechnung (siehe pdf);

also ACHTUNG Spoilerwarnung wenn man die Aufgabe selber rausbekommen will!!!!

Die Namen der Kräfte hätte ich wohl immernoch besser bezeichnen können aber was solls. Kommt im Endeffekt ja immer aufs selbe raus. Jedenfalls:
ich bekomme mit Kraft und Energieansatz das Selbe raus, daher denke ich dass es stimmt. Mit dem Lagrange-Formulismus ebenfalls, habe ich aber nicht mehr in den Formeleditor eintippen wollen. War mir dann doch zuviel ;).

Gruß

 

[Derfnam]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Also habe mal eine kleine Skizze gemacht und zusätzlich die komplette Rechnung (siehe pdf);

Hallo,
in Deiner Skizze fehlt eine Kraft, die einzuzeichnen wäre:
Im SP der Kugel greift eine Kraft m*a an, die dem Hangabtrieb entgegengesetzt ist., da die Kugel ja beschleunigt wird.
Habe ich die vllt. in Deiner Rechnung übersehen?
Ich sehe gerade, dass sie in der Formel enth. ist.

Gruß:
Manni

 

[dobi1982]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hallo Manni

in Deiner Skizze fehlt eine Kraft, die einzuzeichnen wäre:
Im SP der Kugel greift eine Kraft m*a an, die dem Hangabtrieb entgegengesetzt ist.

Na da hast du schon recht. Die Kraft ist nicht eingezeichnet. Wäre genaugenommen die Trägheitskraft. Ich habe mir damals während der Prüfungsvorbereitung ein Lösungsschema erarbeitet bei dem ich die Trägheitskraft nicht einzeichnen muss. Das habe ich einfach bis heute beibehalten. Ich sage dabei einfach: Wäre das System statisch, so würde man die Summe aller Kräfte auf den Körper zu 0 setzten. Da der Körper aber mit einer Beschleunigung von [tex]\ddot{x} [/tex] in Bewegung gesetzt wird, ist

[tex]\bigsum_{i}~F_i = m \cdot \ddot{x} [/tex]

Es spart einem halt "Zeichenaufwand" und bei komplizierten Systemen kann man so seine Skizze übersichtlicher halten. Es kommt aber immer auf das Selbe hinaus.
Aber danke für den Hinweis. Die Methode mit der Trägheitskraft ist den meisten geläufiger, also einfach dazu denken.

Gruß

 

[Benutzer155553]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Ach, interessant, ich wäre gar nicht auf die Idee gekommen das Problem über Lagrange zu lösen, dass werde ich aber auch mal machen.

Mein Vorschlag:

(Ich hab es mal nicht getext, damit die Lösung nicht ungewollt direkt ins Auge fällt, bei Bedarf kann das ja noch nachgeholt werden mit dem Formeleditor)

J \ddot{\varphi} = F_{HA} R \Leftrightarrow (MR^2 + J_K) \ddot{\varphi} = Mg \sin(\alpha) R \Leftrightarrow \ddot{\varphi} = \frac{Mg \sin\alpha R}{MR^2 + \frac{2}{5}MR^2} = \frac{5g \sin\alpha }{7R} = \frac{\ddot{x} }{R} \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{5}{7}g \sin\alpha

Mein Drehpunkt war übrigens die Kontaktstelle Kugel-Ebene. Bei der ersten Äquivalenz habe ich dann den Satz von Steiner verwendet: [tex]J = MR^2 + J_K[/tex]

Der Rest sollte mit der vorigen Lösung ersichtlich sein.

 

[dobi1982]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hi

Ja Lagrange ist zwar schon mit Kanonen auf Spatzen geschossen aber ich benutz es gern zum überprüfen.

Auf deine Lösung wär ich auch net gekommen. Damit hätten wir bis jetzt 4 Lösungsmöglichkeiten. Ob noch eine fünfte kommt? ;-)

Zum Thema verfeinern der Aufgabe: Man könne nun noch bestimmen, in welchem Wertebereich der Haftreibkoeff. sein muss, damit kein Gleiten auftritt.

Gruß

 

[Benutzer155553]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Im Grunde ist es aber eine relativ leichte und sichere Prüfung der aufgestellten DGL von weniger intuitiven Problemen wie diesem hier, bei denen man schnell mal einen Fehler einbaut. Auch wenn für die Lösung des Problems natürlich die selbe DGL gelöst werden muss.

 

[Derfnam]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Hallo dobi


Es spart einem halt "Zeichenaufwand" und bei komplizierten Systemen kann man so seine Skizze übersichtlicher halten. Es kommt aber immer auf das Selbe hinaus. Die Methode mit der Trägheitskraft ist den meisten geläufiger, also einfach dazu denken.

..kan man so machen.
Beim Freischneiden ist es aber vllt. besser, alle wirkenden Kräfte einzutragen. Das ist der Sinn des Freimachens.
Ich habe in diesem Zusammenhang (als Ergänzung) noch ein älteres Beispiel aus einem anderen Forum gefunden.

Gruß:
Manni

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[Benutzer155553]

AW: Ball auf schiefer Ebene

Ich bin eben dann auch mal dazu gekommen die Aufgabe über den Lagrange-Formalismus zu lösen, den Weg poste ich dann mal der Vollständigkeit halber:

Als Verallgemeinerte Koordinate wurde natürlich der Drehwinkel gewählt:

[tex]\varphi = \frac{x}{R}[/tex]

Die Lagrangefunktion wurde wie folgt aufgestellt:

[tex]L = T - U
= T_{kin} + T_{rot} - U[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}M\dot x^2 + \frac{1}{2}J \dot \varphi^2 - Mgx\sin \alpha[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}MR^2 \dot \varphi^2 + \frac{1}{2}\frac{2}{5} MR^2 \dot \varphi^2 - MgR\dot \varphi \sin \alpha[/tex]

[tex]= \frac{7}{10}MR^2 \dot \varphi^2 - MgR\varphi \sin \alpha[/tex]

Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt dann:

[tex]d_t (\partial_{\dot \varphi} L) = \partial_{\varphi} L[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{7}{5}MR^2 \ddot \varphi = - MRg\sin \alpha[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \ddot R \varphi = \underline{\ddot x = - \frac{5}{7}g \sin \alpha}[/tex]

Das Minus resultiert aus der Tatsache, dass ich die positive x-Richtung "Bergauf" definiert habe, ansonsten hätte die Potentielle Energie negativ definiert werden müssen.