Balken mit Streckenlast

highfive · 1 Jan. 2011

Hallo Leute,
Ich hätte mal eine Frage zur der Aufgabe auf dem Bild. Und zwar bestimmt man ja Q über die Formel $Q=-\int q\cdot dx$ aber wie rechne ich jetzt die Einzelnen Kräfte F1 und F2 mit ein? An der Uni an der ich vorher war, konnten wir sowas mit Föppl-Klammern lösen, was relativ schnell und einfach ging aber wie stecke ich alles in eine Formel für Q ohne Föppl-Klammern zu verwenden? Vielen Dank

highfive · 1 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

hier das bild

ahmedhos · 2 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Du hast Recht. Die Formel dQ/dx = -q ist nur dann hilfreich, wenn eine Streckenlast wirkt (,oder nicht wirkt, also q=0). Sie hilft bei einzelnen Kräften nicht, aber das ist so, weil man die Einwirkung einer Einzelkraft bei der Herleitung dieser Formel nicht berücksichtigt hat. Würde man die Einzelkraft bei der Herleitung auch noch berücksichtigen, dann würde sich die Lösung deines Problems ergeben. Anders gesagt: Du musst dir überlegen, wie ändert sich die Querkraft unmittelbar danach, wo eine Einzelkraft wirkt.
Buchtipp: Hibbeler Band.2

lg
Ahmed
Die Formel heisst aber nicht $Q = -\int q \ dx$ sondern $\Delta Q = -\int q \ dx$

ahmedhos · 2 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Hi,

Erstmal bestimme die Auflagerkräfte und dann bestimme die Querkraft mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen punktweise an Diskontinuitäten (Wo es Laständerungen oder geometrische Änderungen gibt.).Links und rechts davon. Bestimme das Moment ganz am Anfang und schon ergibt sich die Momentenlinie von dem, was du bisher hast.
$x = 0: \\ Q(0) =12 \ , \ M(0)=0 \\ x = 2 = 2^(^-^) = 2^(^+^): \\ Q(2^(^-^))= 12 \\ Q(2^(^+^))= -18 \\ x = 4: \\ Q(4) = - 18 \ \\ x = 6 = 6^(^-^) = 6^(^+^): \\ Q(6^(^-^)) = -26 \\ Q(6^(^+^)) = 40 \\ x = 7 = 7^(^-^) = 7^(^+^): \\ Q(7^(^-^)) = 36 \\ Q(7^(^+^)) = 12 \\ x=10: \\ Q(10)=0$
lg
Ahmed
p.s. Die Steigung der Geraden ist -4.

highfive · 2 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Vielen Dank für deine Mühe! Ich habe das Vorgehen verstanden, aber ich finde es verglichen mit der Methode der Föppl-Klammern sehr aufwändig.
Einen schönen Abend noch!

ahmedhos · 2 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Vom Föppelklammer habe ich nur gehört (ein Paar mal in Büchern gesehen). Damit habe ich mich noch nie beschäftigt, deshalb kannst du es besser als ich einschätzen. Es ist recht aufwendig diese Methode, da gebe ich dir Recht. Normalerweise berechnet man alle Schnittgrößen N,Q und M punktweise an Diskontinuitäten und mithilfe dieser Einzelwerte und die Belastungssituation bestimmt man den Verlauf der Zustandslinien.

lg
Ahmed

ahmedhos · 3 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Ich möchte auf deine Ausgangsfrage besser antworten:

http://www.techniker-forum.de/attachment.php?attachmentid=16308&stc=1&d=1294045074

Aus der ersten Skizze kannst du entnehmen, dass sich die Änderung der inneren Schnittkräfte bei der Einwirkung einer Streckenlast folgendermassen ergibt:
$\bigsum V = 0: \ \ dQ(x) = - p(x)\cdot dx \\ \bigsum M_P = 0: \ \ dM(x) = Q(x)\cdot dx \\$
Aus der zweiten Skizze, weißt du wie die Änderung der inneren Schnittkräfte bei der Einwirkung einer Einzellast ausschaut:
$\bigsum V = 0: \ \ dQ(x) = -F \\ \bigsum M_P = 0: \ \ dM(x) = 0 \\$
Aus der dritten Skizze, weißt du wie die Änderung der inneren Schnittkräfte bei der Einwirkung eines Einzelmomentes ausschaut:
$\bigsum V = 0: \ \ dQ(x) = 0 \\ \bigsum M_P = 0: \ \ dM(x) = M_0 \\$

Für diese Gleichungen ist die Kenntnis des Hauptsatzes der Differenzial und Integralrechnung sowie der Definition der Steigung einer Kurve gewiss nützlich.
http://www.youtube.com/watch?v=NTglVBvlX1c
http://www.youtube.com/watch?v=h4I93GCCqGM
http://www.youtube.com/watch?v=dn3D3EYLbHY
http://www.youtube.com/watch?v=NBhRuSQCehY

Der Begriff "Differenzial" ist auch gut:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)#Differentialformen

Auf jeden Fall habe ich das so in den Statikvorlesungen gesehen, dass man die Querkräfte und Biegemomente an Diskontinuitäten punktweise bestimmt, aber das braucht man m.E. nicht machen. Die obigen Gleichungen liefern eine schnellere Lösung. Ich versuche heute noch die Methode, die ich gelernt habe, hier zu posten. Bis dann.

lg
Ahmed

ahmedhos · 3 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Sorry, bei der Herleitung ist etwas schief gelaufen (Zu schlampig!), deshalb nochmal:
UZS bedeutet Uhrzeigersinn.
http://www.techniker-forum.de/attachment.php?attachmentid=16315&stc=1&d=1294054907

Alle Schnittgrößen, die am Element angreifen sind entsprechend dieser Vorzeichendefinition positiv gezeichnet:
http://surfopi.files.wordpress.com/2009/01/schnittufer.jpg

Ok, in der "Element"skizze
http://www.techniker-forum.de/attachment.php?attachmentid=16315&stc=1&d=1294054907
siehst du, wie sich die resultierende Querkraft und das resultierende Moment, die beide an der rechten Seite des Elementes angreifen, um einen kleinen ENDLICHEN "Δ" Betrag ändern, damit das Element im Gleichgewicht bleibt.

Wenn eine beliebige Streckenlast wirkt, dann kann man sie durch die Resultierende R(x) = p(x) * Δx ersetzen.
Die Resultierende greift im Abstand k * Δx = k(Δx) vom rechten Rand, wobei 0<k<1 gilt (Wenn p(x) gleichförmig ist, dann ist k = 0,5).

$\uparrow_+ \downarrow_- \bigsum V = 0: \\ Q(x) - p(x)\cdot \Delta x - (Q(x) + \Delta Q(x)) = 0 \\\Leftrightarrow \Delta Q(x) = -p(x) \Delta x \\\Delta x \rightarrow 0: \\ dQ = - p(x) dx \\\bigsum M_P_{(UZS-)} = 0: \\-M(x) - Q(x) \cdot \Delta x + p(x) \cdot k \cdot {\Delta x}^2 + M(x) + \Delta M(x) = 0 \\\Leftrightarrow \Delta M(x) = Q(x) \Delta x \\\Delta x \rightarrow 0: \\ dM = Q(x) dx$
Hinweis: (Δx)² ist gleich null, warum? Wenn du zwei endlich "ganz" kleine Sachen miteinander multiplizierst "Δa * Δb = 0", dann ist das Ergebnis = 0. Man sagt "Von höherer Ordnung klein!". Das kann man vertiefen, muss man aber nicht. Man muss halt wissen, dass es so ist bei der Herleitung von Differenzialgleichungen. Das sind Vereinfachungen und Nährungen.

Und daraus schon das Bekannte dQ(x)/dx = -p(x) (Die Steigung von Q an der Stelle x = - p an der Stelle x) und dM/dx = Q(x) (Die Steigung von M an der Stelle x = Q an der Stelle x).

Jetzt aber zu dem eigentlichen Problem:
Was, wenn eine Kraft oder ein Moment angreift? Genau dasselbe Vorgehen:
Zuerst, wenn eine Kraft angreift:
$Skizze \ 2: \\\uparrow_+ \downarrow_- \bigsum V: \\Q(x) - F - (Q(x) + \Delta Q(x)) = 0 \\\Leftrightarrow \Delta Q(x) = -F \\\bigsum M_P_{(UZS-)}: \\-M(x) - Q(x) \cdot \Delta x + F \cdot k \cdot \Delta x + M(x) + \Delta M(x) = 0 \\- Q(x) \cdot \Delta x + F \cdot k \cdot \Delta x + \Delta M(x) = 0 \\\Rightarrow -Q(x) \cdot \Delta x - \Delta Q(x) \cdot k \cdot \Delta x + \Delta M(x) = 0 \\\Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x$
Das Heißt, bei einer Krafteinwirkung "nach unten" ändert sich der Querkraftverlauf ein bisschen Plötzlich um $\Delta Q_x = Q({x{^ {+}}) - Q({x^{-}}) =-F$ . Die kurve der Querkraft springt auf der Stelle x um ein -F in die negative Richtung, falls die positive Querkraft so definiert ist, wie wir sie definiert haben. Die Definition ist aber die Standarddefinition in fast allen Büchern, sogar hier:
http://ivisice.tugraz.at/downloads/meister_em/
Die Gleichung, die wir für das Moment bekommen haben ist dieselbe, die wir bei der Belastung durch eine Streckenlast bekommen haben, also die Momentenlinie wird durch die Einzelkraft keinesweges beeinflusst.

Wenn ein äusseres Moment M0 angreift:
$Skizze \ 3: \\\bigsum V=0: \ \ \Delta Q(x) = 0 \\\bigsum M=0: \ \ \Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x + M_0$

dann ändert sich die Querkraft nicht, aber die Änderung des Momentes hängt jetzt nicht nur vom Querkraft ab, sondern auch vom äußeren Moment. Also Die änderung um +M0 tritt ein bisschen plötzlich ein. Also, wenn ein Moment im UZS von außen angreift, dann ändert sich das Moment um +M0.

Falls alles wirkt, dann gilt die Superposition:
$\Delta Q(x) = -p(x)_{\downarrow} \cdot \Delta x - F_{\downarrow} \\\Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x + M_0_{"UZS"} \\$

lg
Ahmed

ahmedhos · 3 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

Die obige Herleitung ist nach Hibbeler TM Bd.2 Festigkeitslehre korrekt. Jetzt genug Theorie. Obige Gleichungen "klug" an unserem System angewandt:

Erster Schritt:
Bestimme die Auflagerkräfte. A=12 und B=66.

Zweiter Schritt:
Bestimme die Querkräfte und Biegemomente an den Endpunkten mithilfe des Gleichgewichts:
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/alr012qkpul8gnt.jpg
$Q(0) = 12 \ , \ Q(10) = 0 \\M(0) = 0 \ , \ M(10) = 0$

Dritter Schritt:

Die Querkraftlinie zeichnen:

Im ersten Bereich, wo $0 \leq x < 2$ , wirkt keine Streckenlast, somit ist p(x) oder q(x) = 0. Die Querkraftlinie weist also Null Änderung auf. Das heisst, dass die Querkraft im gesamten Bereich konstant ist. In Mathematik drückt man es so aus:
$\frac{dQ(x)}{dx} = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} \frac{dQ(x)}{dx} dx = \int_{0}^{2} 0 dx \Leftrightarrow \left[ Q(x) \right]_{0}^{2} = 0 \\ Q(2) - Q(0) = 0 \Leftrightarrow \Delta Q = 0 \Leftrightarrow Q(2) = Q(0)$
Somit hast du "ohne die obige Mathematik" allein aus der Gleichung ΔQ = 0 die Querkraft im gesamten Bereich bestimmt.
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qkc5y8rijx9.jpg
Im zweiten Bereich, wo $2 \leq x < 4$ , wirkt weiterhin keine Streckenlast, allerdings ändert sich der Verlauf der Querkraftlinie um ΔQ = -F. In Mathematik und Physik drückt man das so aus:
$\Delta Q(x) = -F \\ \Delta x \rightarrow 0: \ dQ(x) = -F$
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk1eob21ltq3.jpg
"Ohne die Mathematik" weiß man, dass eine Einzellast F=24, die nach unten angreift, eine sprunghafte Änderung der Querkraft um dQ = -F = -24 verursacht, also man weiss, dass $Q(2^{+}) = Q(2^{-}) + dQ = 12 + (-24) = -18$ .
Nach diesem Sprung verläuft die Querkraft konstant bis zum Ende des zweiten Bereichs. Warum? Guck dir Bereich eins nochmal ganz kurz an.
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk2lsea0y1i3.jpg

Im dritten Bereich, wo $4 \leq x < 6$ , haben wir eine konstante positive (nach unten gerichtete) Streckenlast p(x) = +const. Aus der Gleichung dQ/dx = -q wissen wir, dass die Funktion Q(x) ein Grad höher ist als die Funktion von q(x) (hier q=const. und Q=Linear). Ausserdem wissen wir, dass die Steigung der Geraden, die Q in diesem Bereich beschreibt, m = -q = -4 ist. In der Mathematik drückt man das so aus:
[Mimetex kann diese Formel nicht rendern]
Das "negative" Integral über p(x) oder q(x) = 4 entspricht dem "negativen" Flächeninhalt der Fläche F, die von q(x) und der Achse geschlossen wird. Deshalb wissen wir "ohne die obige Mathematik", dass ΔQ = - F = - 4 * 2 = -8. Wegen der Beziehung dQ/dx = -q wissen wir ausserdem, wie oben gesagt, dass Q eine konstante negative Steigung von -q=-4 haben muss. Q muss deshalb linear sein, also eine Gerade, weil eine Gerade eine konstante Steigung hat.
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk3e34c0gzl2.jpg

Im vierten Bereich, wo $6 \leq x < 7$ , haben wir weiterhin eine konstante Streckenlast q=-4. Der Verlauf ist weiterhin eine Gerade mit einer negativen Steigung von m=-4. An der Stelle x=6 greift eine Einzellast von unten nach oben an "Die Auflagerkraft B = 66" diese bewirkt eine plötzliche Querkraftänderung von +B, also ist dQ = +B = +66 (Stelle es dir wie oben mit einem Gleichgewicht am Punkt vor, wieviel ist dQ? dQ = 66.)
$Q(6^{+})=Q(6^{-})+dQ = -26 + 66 = 40$

http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk4rt8suhfpj.jpg

Im fünften Bereich, wo $6 \leq x < 7$ , haben wir weiterhin die Streckenlast, also ist dQ/dx = -4 und deshalb hat Q eine konstante Steigung von -4 und deshalb ist Q eine Gerade (Weill eine Gerade konstante Steigung hat). Um den Wert der Querkraft gerade an der Stelle vor x=7 zu bedienen wir uns die Gleichung ΔQ = - F = - 4*1 = -4.

http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk5d0t19yjq2.jpg

Im sechsten Bereich, wo $6 \leq x < 7$ , haben wir eine Sprunghafte negative Änderung der Querkraft dQ = -24 und im letzten Bereich sollte auch alles klar sein:

http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/qk63nqjcidgu.jpg

Das ist doch schön.

lg
Ahmed

ahmedhos · 3 Jan. 2011

AW: Balken mit Streckenlast

KORREKTUR:
Die rechte x-Koordinate heisst x=10 und die Querkraft dort ist NULL und nicht 12! Ansonsten viel Spass!

lg
Ahmed

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