AW: Balken mit Streckenlast
Sorry, bei der Herleitung ist etwas schief gelaufen (Zu schlampig!), deshalb nochmal:
UZS bedeutet Uhrzeigersinn.
http://www.techniker-forum.de/attachment.php?attachmentid=16315&stc=1&d=1294054907
Alle Schnittgrößen, die am Element angreifen sind entsprechend dieser Vorzeichendefinition positiv gezeichnet:
http://surfopi.files.wordpress.com/2009/01/schnittufer.jpg
Ok, in der "Element"skizze
http://www.techniker-forum.de/attachment.php?attachmentid=16315&stc=1&d=1294054907
siehst du, wie sich die resultierende Querkraft und das resultierende Moment, die beide an der rechten Seite des Elementes angreifen, um einen kleinen ENDLICHEN "Δ" Betrag ändern, damit das Element im Gleichgewicht bleibt.
Wenn eine beliebige Streckenlast wirkt, dann kann man sie durch die Resultierende R(x) = p(x) * Δx ersetzen.
Die Resultierende greift im Abstand k * Δx = k(Δx) vom rechten Rand, wobei 0<k<1 gilt (Wenn p(x) gleichförmig ist, dann ist k = 0,5).
[tex]\uparrow_+ \downarrow_- \bigsum V = 0: \\ Q(x) - p(x)\cdot \Delta x - (Q(x) + \Delta Q(x)) = 0 \\
\Leftrightarrow
\Delta Q(x) = -p(x) \Delta x \\
\Delta x \rightarrow 0: \\
dQ = - p(x) dx \\
\bigsum M_P_{(UZS-)} = 0: \\
-M(x) - Q(x) \cdot \Delta x + p(x) \cdot k \cdot {\Delta x}^2 + M(x) + \Delta M(x) = 0 \\
\Leftrightarrow
\Delta M(x) = Q(x) \Delta x \\
\Delta x \rightarrow 0: \\
dM = Q(x) dx [/tex]
Hinweis: (Δx)² ist gleich null, warum? Wenn du zwei endlich "ganz" kleine Sachen miteinander multiplizierst "Δa * Δb = 0", dann ist das Ergebnis = 0. Man sagt "Von höherer Ordnung klein!". Das kann man vertiefen, muss man aber nicht. Man muss halt wissen, dass es so ist bei der Herleitung von Differenzialgleichungen. Das sind Vereinfachungen und Nährungen.
Und daraus schon das Bekannte dQ(x)/dx = -p(x) (Die Steigung von Q an der Stelle x = - p an der Stelle x) und dM/dx = Q(x) (Die Steigung von M an der Stelle x = Q an der Stelle x).
Jetzt aber zu dem eigentlichen Problem:
Was, wenn eine Kraft oder ein Moment angreift? Genau dasselbe Vorgehen:
Zuerst, wenn eine Kraft angreift:
[tex]Skizze \ 2: \\
\uparrow_+ \downarrow_- \bigsum V: \\
Q(x) - F - (Q(x) + \Delta Q(x)) = 0 \\
\Leftrightarrow \Delta Q(x) = -F \\
\bigsum M_P_{(UZS-)}: \\
-M(x) - Q(x) \cdot \Delta x + F \cdot k \cdot \Delta x + M(x) + \Delta M(x) = 0 \\
- Q(x) \cdot \Delta x + F \cdot k \cdot \Delta x + \Delta M(x) = 0 \\
\Rightarrow -Q(x) \cdot \Delta x - \Delta Q(x) \cdot k \cdot \Delta x + \Delta M(x) = 0 \\
\Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x
[/tex]
Das Heißt, bei einer Krafteinwirkung "nach unten" ändert sich der Querkraftverlauf ein bisschen Plötzlich um [tex]\Delta Q_x = Q({x{^ {+}}) - Q({x^{-}}) =-F [/tex]. Die kurve der Querkraft springt auf der Stelle x um ein -F in die negative Richtung, falls die positive Querkraft so definiert ist, wie wir sie definiert haben. Die Definition ist aber die Standarddefinition in fast allen Büchern, sogar hier:
http://ivisice.tugraz.at/downloads/meister_em/
Die Gleichung, die wir für das Moment bekommen haben ist dieselbe, die wir bei der Belastung durch eine Streckenlast bekommen haben, also die Momentenlinie wird durch die Einzelkraft keinesweges beeinflusst.
Wenn ein äusseres Moment M0 angreift:
[tex]Skizze \ 3: \\
\bigsum V=0: \ \ \Delta Q(x) = 0 \\
\bigsum M=0: \ \ \Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x + M_0
[/tex]
dann ändert sich die Querkraft nicht, aber die Änderung des Momentes hängt jetzt nicht nur vom Querkraft ab, sondern auch vom äußeren Moment. Also Die änderung um +M0 tritt ein bisschen plötzlich ein. Also, wenn ein Moment im UZS von außen angreift, dann ändert sich das Moment um +M0.
Falls alles wirkt, dann gilt die Superposition:
[tex]\Delta Q(x) = -p(x)_{\downarrow} \cdot \Delta x - F_{\downarrow} \\
\Delta M(x) = Q(x) \cdot \Delta x + M_0_{"UZS"} \\[/tex]
lg
Ahmed
