Arrhenius-Gleichung: Exponentielles Wachstum?

[laienstefan]

Es geht um die Arrhenius -Gleichung in der Diffusion, die wir wie folgt kennengelernt haben:

[tex] Sprungrate = c_0 \cdot e^{-\frac{Q}{RT} } [/tex]

Dabei bezeichnet die Sprungrate (Ereignisse pro Zeit), c_0 ist irgendeine Konstante, Q die Aktivierungsenergie, R die univ. Gaskonstante und T die Temperatur in Kelvin. Der Professor hatte nun davon gesprochen, die Sprungrate wachse exponentiell mit der Temperatur. Ich habe mich an diesem Ausdruck gestört, denn der Verlauf sieht wie folgt aus:



Das ist zwar irgendwie ein exponentieller Zusammenhang, aber eher wächst die Temperatur exponentiell mit der Sprungrate, oder?
Und die Sprungrate wächst logarithmisch mit der Temperatur...
Darauf angesprochen war eine weitere Idee des Professors, vielleicht wachse nicht die Sprungrate exponentiell mit der Temperatur, sondern die Aktivität, also scheinbar das Integral der Sprungrate, nämlich die Ereignisse. Argumentiert hat er, für mich unverständlich, mit der Steigung der oben abgebildeten Kurve.

Hiermit habe ich 2 Probleme:
1. Wäre das Integral der Sprungrate eine Exponentialfunktion, wäre ja auch die Sprungrate selbst eine Exponentialfunktion, oder?
2. Selbst wenn dem so wäre: Die rechte Seite der Arrhenius-Gleichung ist ja unabhängig von der Zeit, d. h. die oben geplottete Zeichnung zeigt die Steigung d/dT und nicht d/dt (t=Zeit).

Wie käme ich von der Sprungrate aus der Arrhenius-Gleichung auf deren zeitliches Integral? Meine einzige Idee wäre, die Gleichung mit t zu multiplizieren (so wie das zeitliche Integral eine Konstante c einfach c*t + K ist). So wird daraus immer noch kein exponentielles Wachstum.

Vielen Dank!

 

[derschwarzepeter]

Die Sprungrate ist doch die Folge der Temperatur
und durch Erhöhen der Temperatur kann man die Sprungrate vergrößern,
aber man kann nicht die Temperatur vergrößern, indem man die Sprungrate erhöht.

P.S.: Das ist ein bissl so, wie wenn man sagt:
Die Anzahl der gegessenen Faschingskrapfen ist proportional zur Anzahl der Kinder.
Wir müssen also nur weniger Faschingskrapfen kaufen,
und schon reicht die Größe des Kindergartens wieder!
Fazit: Der Schwanz wedelt eben nicht mit dem Hund.

 

[laienstefan]

Die Sprungrate ist doch die Folge der Temperatur
und durch Erhöhen der Temperatur kann man die Sprungrate vergrößern,
aber man kann nicht die Temperatur vergrößern, indem man die Sprungrate erhöht.

Dagegen habe ich nichts einzuwenden.
Mir geht es um das exponentielle Wachstum. Man kann die Sprungrate vergrößern, indem man die Temperatur erhöht, aber dabei steigt die Sprungrate ja nicht exponentiell, oder? Genau dieser Zusammenhang (Sprungrate über Temperatur) ist ja oben geplottet - bei exponentiellem Wachstum hätte ich mir einen solchen (qualitativen) Verlauf vorgestellt:

 

[derschwarzepeter]

Man kann die Sprungrate vergrößern, indem man die Temperatur erhöht, aber dabei steigt die Sprungrate ja nicht exponentiell, oder?

Wie nennst du denn dann DIESEN Verlauf:
Sprungrate=c0⋅e^(−Q/RT)
?

 

[laienstefan]

Wie nennst du denn dann DIESEN Verlauf:

Verdammt, darauf habe ich keine Antwort 😔

Neuer Versuch, Definition "Exponentielles Wachstum" bei Wikipedia:
"(auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht."

Beispiel:

[tex] \frac{e^{20}}{e^{10}} = \frac{e^{30}}{e^{20}} = e^{10} [/tex]

Aber hier:

[tex] \frac{e^{-\frac{1}{20}}}{e^{-\frac{1}{10}}} = \sqrt[20]{e} \neq \frac{e^{-\frac{1}{30}}}{e^{-\frac{1}{20}}} = \sqrt[60]{e} [/tex]