Anfangswertproblem mit Laplace lösen

[ratstar]

Hallo,

ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe einer Probeklausur und habe nicht mal die Idee eines Ansatzes. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Es soll mittels Laplace-Transformation ein Anfangswertproblem gelöst werden. Das Problem hierbei ist, dass der Anfangswert so aussieht: y(-1)=e^-3.

Meine Frage lautet daher: wie gehe ich mit einem Anfangswert um, der < 0 ist?

Vielen Dank für Eure Hilfe.
ratstar

 

[Derek25]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Das Problem ist wohl, das der Laplacebereich nicht für negative Zeiten definiert ist...

Schreib uns doch mal die ganze Aufgabe, vielleicht können wir dann weiterhelfen.

 

[ratstar]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Vielen Dank für Deine Antwort Derek25.
Genau das mit dem negativen Bereich ist auch das, worüber ich hier stolper. Ich hätte gedacht, dass man die den Anfangswert erstmal um +1 in positive x-Richtung verschiebt und dann später den Wert von y(-1) einsetzt. Das war wohl ein Holzweg.

Die komplette Aufgabe lautet:
Lösen Sie das Anfangswertproblem y(-1)=e^-3 für die folgende gewöhnliche Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation!
y'-3y = x * e^2x

 

[Derek25]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Erstmal, ich habe keine Ahnung (hatte noch nie das Problem).

Aber wenn du den Anfangswert verschiebst, musst du auch die Funktion verschieben. Also ungefähr so:
y'(x+1)-3y(x+1) = (x+1) * e^2(x+1)

dann müsstetst du eigentlich y(0)=e^-3 annehmen können.

Jetzt müsste man beides transformieren können, und normal weiter rechnen können.

Und wenn man dann wieder zurück in den Zeitbereich geht, muss man es wieder zurück verschieben.

Ich würde es erstmal so ausprobieren und testen.

aber die Lösung würde mich auch interessieren.

 

[ratstar]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Vielen Dank. Ich denke, ich werde es so probieren. Antwort dann aber frühestens am Sonntag, da ich vorher noch anderes zu tun habe. :)

 

[MartinRo]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Hallo,

ich bin nicht der Ansicht, dass man die Funktion verschieben muss!

Laplace:

[tex]s\cdot y(s)-y(0)-3y(s)=\frac{1}{(s-2)^2}[/tex]

[tex]y(s)\cdot (s -3)=\frac{1}{(s-2)^2}+y(0)[/tex]

[tex]y(s)=\frac{1}{(s-2)^2 \cdot (s -3)}+\frac{y(0)}{(s -3)}[/tex]

Nach der Rücktransformation erhalten wir:

[tex] e^{3x}\cdot (y(0)+1)-e^{2x}\cdot(x+1)[/tex]

[tex] y(0) [/tex] lässt sich doch jetzt so bestimmen: Wir setzen [tex] x=-1[/tex] und erhalten:

[tex] e^{-3}\cdot (y(0)+1)=e^{-3}[/tex]

Daraus folgt: [tex]y(0)=0 [/tex] und wir erhalten die Lösung:

[tex]e^{3x}-e^{2x}\cdot(x+1)[/tex]

 

[Derek25]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Dein Weg ist wohl viel eleganter, als die Funktion vorher zu verschieben.

 

[ratstar]

AW: Anfangswertproblem mit Laplace lösen

Hallo ihr beiden,

vielen Dank für Eure Mühe, der Ansatz von MartinRo ist in der Tat der Richtige und führt zum gewünschten Ergebnis. Jetzt muss ich es nur noch verstehen.

Gruß,
Stefan