Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von N0r0, 17 Jan. 2013.

  1. Hallo,

    ich habe folgende Schaltung zu analysieren:
    Schaltung_HP_TP.jpg

    Die erste Frage ist, was die Schaltung darstellt:
    R4, R5 und C7 bilden einen aktiven Tiefpass erster Ordnung.
    C8, R4 und R5 bilden einen aktiven Hochpass erster Ordnung.
    Zusammen ergibt sich ein Bandpass, oder? Wie sieht es denn mit den Grenzfrequenzen aus, kann man mittels FOrmel berechnen?

    Die zweite Frage ist, welchen maximalen Betrag die Verstärkung haben kann:
    Ich würde sagen, die Verstärkung ist grundlegend maximal, wenn dier Ersatzwiderstand der Gegenkopplung maximal und der Ersatzwiderstand vor dem invertierendem Eingang minmal sind:
    \frac{U_a}{U_e}=-\frac{R5||C7}{C8+R4}
    ... also Zähler maximal und Nenner minmal. Das ist ja frequenzabhängig, durch den Kondensator. Da beide Kondensatoren die gleiche Kapazität haben, gibt es eine Frequenz - und damit einen bestimmten Blindwiderstand - bei dem die Verstärkung maximal wird. Wie gehe ich jetzt weiter vor?

    Vielen Dank für eure Hilfe
     
    #1 N0r0, 17 Jan. 2013
    Zuletzt bearbeitet: 17 Jan. 2013
  2. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Das ist ein Hochpass am Eingang und ein Tiefpass im Rückwärtspfad.

    Die Grenzfrequenzen werden durch das jeweilige R*C Produkt definiert.

    Um das Maximum zu finden musst du den Betrag der Gesamtfunktion berechnen.
    Diese dann ableiten und die Ableitung gleich 0 ergibt die Frequenz bei der die Amplitude maximal ist.
    Mach das mal. :)
     
  3. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Ok, vielen Dank :)
    Da haben wir also den Tiefpass,der aus R4 und C7 besteht und den Hochpass, der aus R5 und C8 besteht.

    Zur Übertragungsfunktion:
    \frac{Ua(j\omega)}{Ue(j\omega)} = \frac{R5||X_{C7}}{R4+X_{C8}}=\frac{R5||X_{C}}{R4+X_{C}}\\= \frac{R5*X_C}{(R_4+X_C)(R5+X_C)}\\= \frac{R5*X_C}{R_4R_5+R_4X_C+R_5X_C+X_C^2}\\= \frac{1}{\frac{R_4}{X_C}+\frac{R4}{R5}+1+\frac{X_C}{R_5}}\\= \frac{1}{\frac{R4}{R5}+1+j\omega R_ 4C-\frac{j\omega C}{R_5}}\\= \frac{1}{1,45+j\omega C(R_4-\frac{1}{R_5})}\\= \frac{1}{1,45+j6,8*10^{-4}\omega}\\
    Ich hoffe ich habe bis hierhin alles richtig gemacht? Kann ich nun schon sagen, dass für die Frequenz 0 die Übertragungsfunktion am größten ist, also v = 1/1,45 = -3,23 dB?
    Ansonsten wäre doch jetzt theoretisch der Weg mit der konjugiert komplexen zu erweitern, um eine Real und Imaginärteil einzeln zu erhalten und anschließend Realteil zu quadrieren und Imaginärteil quadrieren ... und anschließend die WUrzel drauß zu ziehen?.

    PS: Mittels Simulation bin ich auch auf -3,23 dB gekommen, allerdings habe ich glaube ich die Übertragungsfunktion vorzeichenfalsch hergeleitet. Man beginnt hier am einfachsten mit den Strömen, oder wie wäre hier der Weg?

    Vielen Dank :)
     
    #3 N0r0, 18 Jan. 2013
    Zuletzt bearbeitet: 18 Jan. 2013
  4. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Deine Rechnung ist falsch.


    Ich nenne die Bauteile mal R1, C1, R2, C2.

    in---R1---C1----o---R2||C2------out


    Z1_ = R1+1/(jw*C1) = (1+jw*R1*C1)/(jw*C1)

    Z2_ = R2*(1/(jw*C2))/(R2+1/(jw*C2)) = R2/(1+jw*R2*C2)

    Ua_/Ue_ = -Z2_/Z1_

    Ua_/Ue_ = -(R2/(1+jw*R2*C2)) / ((1+jw*R1*C1)/(jw*C1))

    Ua_/Ue_ = -jw*R2*C1/((1+jw*R1*C1)*(1+jw*R2*C2))
    ------------------------------------------------------

    |Ua_/Ue_| = w*R2*C1/(sqrt(1+(w*R1*C1)^2)*sqrt(1+(w*R2*C2)^2))
    --------------------------------------------------------------------
     
  5. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Oh, alles klar - Die Rechnung kann ich soweit nachvollziehen.
    Aber dies nun nach \omega abzuleiten wäre ja - zumal ohne ComputerHilfsmittel - eine "Herausforderung". Gibt es da nun noch einen Trick?

    :) Dank dir wieder mal
     
  6. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Da gibt es doch nichts abzuleiten.

    w = 2*pi*f

    w ist omega
     
  7. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Beid er Aufgabe sollte die maximale Verstärkung berechnet werden. Hierzu wird ja die Frequenz, also indirekt omega, benötigt, bei der der Betrag der Übertragungsfunktion maximal wird.
    Hierzu die o.g. FUnktion ableiten, 0 setzen und die Frequenz ermitteln. Anschließend den Betrag mit der nun ermittelten Frequenz berechnen - oder hab ich da grad 'n Denkfehler?
     
  8. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Falsch.

    (R4-1/R5) das kann nie sein. Man kann nicht 1/Ohm von Ohm abziehen.
     
  9. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Hi,
    ich glaube wir haben ein wenig aneinander vorbei geredet. Dass meine obige Rechnung falsch ist, ist schon klar - dafür haben wir ja deine Berechnung des Betrages der Übertragungsfunktion. Von dieser ist das Maximum gesucht ... und an der Stelle kam ich nicht weiter.

    Aber ich probiers einfach nochmal:

    [Mimetex kann diese Formel nicht rendern]
    Nun, um diesen Betrag zu maximieren, benötigen wir die entsprechene Frequenz. Das tritt dann ein, wenn der Teil mit omega im Nenner, minimal wird.
    \frac{\delta}{\delta\omega} (\omega R_1C-\frac{1}{\omega R_2C}) = R_1C+\frac{1}{R_cC\omega^2} = 0
    ... und an der Stelle komme ich nicht weiter, da die GLeichung ja so nicht lösbar ist. Da hat sich bei mir sicherlich wieder ein Fehler eingeschlichen :/ Dank dir fürs Drüberschauen.
     
  10. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Ich hab das Problem gefunden.
    Von dem Quadrat, also folgendem die Ableitung bilde:
    \frac{\delta}{\delta\omega} (\omega R_1C-\frac{1}{\omega R_2C})^2
    und diese 0 setze, komme ich auf eine Frequenz von 157 Hz, bei dem die Übertragungsfunktion minmal wird ... und die Lösung stimmt mit der Simulation überein.

    Vielen vielen Dank für deine Hilfe :)
     
  11. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Für alle die es interessiert.


    |Ua_/Ue_| = w*R2*C1/(sqrt(1+(w*R1*C1)^2)*sqrt(1+(w*R2*C2)^2))

    Quadrat bilden.

    |Ua_/Ue_|^2 = (w*R2*C1)^2/((1+(w*R1*C1)^2)*(1+(w*R2*C2)^2))

    a=(R2*C1)^2
    b=(R1*C1)^2
    c=(R2*C2)^2

    |Ua_/Ue_|^2 = w^2*a/((1+w^2*b)*(1+w^2*c))

    Jetzt ableiten.

    d(|Ua_/Ue_|^2)/dw =

    [2*w*a*() - w^2*a*(2*w*b+2*w*c+4*w^3*b*c)]/((1+(w*R1*C1)^2)*(1+(w*R2*C2)^2))^2

    Zähler=0

    0 = 2*w*a*(1+w^2*b)*(1+w^2*c) -w^2*a*(2*w*b+2*w*c+4*w^3*b*c)

    2*(1+w^2*b)*(1+w^2*c) = 2*w^2*b + 2*w^2*c + 4*w^4*b*c

    (1+w^2*b)*(1+w^2*c) = w^2*b + w^2*c + 2*w^4*b*c

    1+ w^2*b +w^2*c +w^4*b*c = w^2*b + w^2*c +2*w^4*b*c

    w^4*b*c = 1

    w = 1/sqrt(R1*C1*R2*C2)
    ---------------------------------
     
  12. AW: Analyse Schaltung (Hoch/Tiefpass)

    Bin auf das gleiche Ergebnis gekommen :)
    Dank dir für deine Hilfe und Mühe!
     

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