Addition zweier Wechselspannungen...

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von felted, 5 Jan. 2013.

  1. Hallo zusammen,

    Im LM 1 Seite 29 steht folgende Aufgabe:

    Es sind zwei Wechselspannungen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage zu addieren!

    u1 = 5 V⋅sin(ωt + 30°)
    u2 = 8 V⋅sin(ωt + 70°)

    In der Lösung steht geschrieben:

    Die Addition komplexer Zahlen wird vorzugsweise in der Komponentenform durchgeführt.

    Aus

    \underline{U}_1 = 5 V \cdot e^{j30^\circ }
    \underline{U}_2 = 8 V \cdot e^{j70^\circ }

    wird...

    Die Frage ist, wie kommt man von u1 = 5 V⋅sin(ωt + 30°) auf \underline{U}_1 = 5 V \cdot e^{j30^\circ } ?

    In den Unterlagen steht, dass die komplexe Zahl z (was hier ja dem \underline{U} entspricht), auch so dargestellt werden kann:

    z = r · (cos φ + j sin φ)

    In der obigen Darstellung [ u1 = 5 V⋅sin(ωt + 30°) ] ist aber nur sin angegeben.

    Viele Grüße und Danke, Felted
     
  2. AW: Addition zweier Wechselspannungen...

    Eulersche Gleichung:

    e^{j\varphi}=\cos{\varphi}+j\sin{\varphi}

    Die physikalisch tatsächlich vorhandene Größe ist die Projektion des mit \omega rotierenden Zeigers auf die imaginäre Achse.
     
  3. AW: Addition zweier Wechselspannungen...

    Genau, aber in der Aufgabe steht:

    u1 = 5 V⋅sin(ωt + 30°)

    und nicht

    u1 = 5 V⋅cos(ωt + 30°) + jr · sin(ωt + 30°)

    Daher ist für mich (erstmal) nicht ersichtlich, dass aus

    u1 = 5 V⋅sin(ωt + 30°)

    dann

    \underline{U}_1 = 5 V \cdot e^{j30^\circ }

    werden kann, weil, (wie Du ja schon geschreiben hast) in den Unterlagen steht:

    Mit fehlt da einfach das j sin φ.

    Wieso gilt diese Feststellung, auch wenn das
    j sin φ fehlt?

    Grüße und Danke, Felted
     
  4. AW: Addition zweier Wechselspannungen...

    Ich wiederhole:

    Wenn Du also den komplexen Ausdruck hast

    U1 = 5 V⋅cos(ωt + 30°) + j5V · sin(ωt + 30°)

    was ist dann die Projektion auf die imaginäre Achse? Richtig: das ist der Imaginärteil von U1, also

    Im(\underline{U}_1)=5V\cdot\sin{(\omega t+30^\circ)}

    Immerhin wird eine komplexe Größe immer dargestellt, wie in Deinem Beispiel zu sehen ist, durch "Realteil + j*Imaginärteil".

    Ich empfehle Dir dringend, im Lehrbuch oder in Deinen Unterlagen oder bei Wiki oder ... oder ... das Kapitel über die komplexe Darstellung sinusförmiger Größen, insbesondere über die Transformation vom Zeitbereich in die komplexe Ebene und umgekehrt, gründlichst durchzuarbeiten. Du solltest schließlich begreifen, dass die bildhafte Darstellung einer komplexen Größe durch einen rotierenden Zeiger geschieht, dessen Position durch Darstellung in der komplexen Ebene mathematisch beschrieben wird, wobei nur die Projektion dieses rotierenden Zeigers auf eine der Achsen - in Deinem Beispielfall auf die imaginäre Achse - der physikalisch tatsächlich existierenden sinusförmigen Größe entspricht.

    Siehe auch hier:

    http://www.physikerboard.de/topic,31500,-wechselstromrechnung:-unterschied-sin-und-cos.html
     
  5. AW: Addition zweier Wechselspannungen...

    Hab ich aber nicht.

    Ich habe:

    U1 = 5 V · sin(ωt + 30°)

    Ist klar.

    Hier ist die Herleitung:

    x = r ⋅ cos φ
    y = r ⋅ sin φ.

    Damit kann die komplexe Zahl z auch in der Form
    z = r ⋅ cos φ + jr ⋅ sin φ

    oder

    z = r ⋅ (cos φ + j sin φ)

    geschrieben werden.

    Die trigonometrischen Funktionen sind in der Mathematik über die Eulersche Formel mit der Exponentialform verbunden. Ohne an dieser Stelle tiefer auf die mathematischen Zusammenhänge einzugehen gilt die Gleichung:

    (cos φ + j sin φ) = e

    In der Aufgabe ist nur U1 = 5 V · sin(ωt + 30°) gegeben ist (r ⋅ cos φ fehlt).

    Darf die Eulersche Gleichung dennoch angewendet werden?

    Sprich, ist


    z = r ⋅ cos φ + jr ⋅ sin φ => e

    das Gleiche wie


    z = jr ⋅ sin φ => e
     
  6. AW: Addition zweier Wechselspannungen...

    Nein, so ist das sicher nicht gegeben (siehe auch deinen Eröffnungspost), sondern so:

    u1 = 5 V · sin(ωt + 30°) (nicht unterstrichener Kleinbuchstabe)

    Und das transformierst Du jetzt in die komplexe Ebene. Es sei denn; Du willst gar nicht komplex rechnen, sondern im Zeitbereich. Das kannst Du machen, ist aber viel aufwendiger. Die Darstellung sinusförmiger Größen in der komplexen Ebene wurde ja gerade aus Vereinfachungsgründen eingeführt. Dann sollte man diese Möglichkeit auch nutzen!

    Ich empfehle Dir noch einmal, Dir die bildhafte Darstellung sinusförmiger Größen als Projektion rotierender Zeiger und ihre Darstellung in der komplexen Ebene zu verinnerlichen. Solange Du Dich standhaft weigerst, das zu tun, kommen wir hier nicht weiter.
     

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