Ableitung mit dem Produktregel bilden

[ML2000]

Hallo,
ich habe folgendes Problem. Gegeben ist diese Funktion:

fk(x) = [e^(-x) - 2k]^2
ich hoffe ihr könnt das entziffern?!?

ich muss jetzt die erste Ableitung davon bilden! ich hab das jetzt so erstmal aufgelöst:

fk(x) = [e^(-x) - 2k] * [e^(-x) - 2k]

Wenn ich jetzt die Produktregel anwende bekomme ich das hier raus:

fk'(x) = u'*v + u*v'
fk'(x) = 2*[e^(-x) * (e^(-x) -2k)]

Jetzt weis ich aber nicht, wie ich das weiter zusammenfassen kann :(

Hier nochmal der Zettel abfotografiert, villeicht könnt ihr das besser lesen?!

danke schonmal im Vorraus!
mfg Matthias

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Hi Matthias,
erstmal eins vorweg: Hier mit der Produktregel zu arbeiten, finde ich etwas umständlich.
Lieber das Binom ausmultiplizieren und dann die einzelnen Glieder ableiten. ;)

Dann hast du noch nen Fehler beim Ableiten gemacht:
f(x)=[tex]e^{-x} [/tex]

f'(x)= - [tex]e^{-x} [/tex]

Ansonsten stimmt's.

Aber das eigentliche Problem war ja das Zusammenfassen.
Immer von innen nach außen, also die innere Klammer zuerst auflösen: [tex]e^{-x} \cdot (e^{-x}-2k)[/tex].
Du musst aber zuerst nochmal ableiten. Dann werden sich die Vorzeichen nochmal ändern.

Gruß
Natalie

 

[lowbrow]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

@ML2000
Mit der Produktregel zu arbeiten finde ich auch ziemlich umständlich. Wie wäre es mit der Kettenregel? Ist ja auch ne geschachtelte Funktion und schreit förmlich danach.

f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)

[tex] \left[ \left( e^{-x} + 2k \right)^{2}\right]^{\'} = 2 \cdot \left( e^{-x} + 2k \right) \cdot \left(-e^{-x}\right) = -2e^{-x}\left( e^{-x} + 2k \right) [/tex]

Finde ich schneller und einfacher.


@lonesome-dreamer
Durch ausmultiplizieren kommt man zwar auch aufs richtige Ergebnis, allerdings entstehen sehr schnell Ausdrücke, die man nur schwer vereinfachen kann oder mit denen man nur schlecht weiterrechnen oder gar weiterarbeiten kann.

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Hi,

Durch ausmultiplizieren kommt man zwar auch aufs richtige Ergebnis, allerdings entstehen sehr schnell Ausdrücke, die man nur schwer vereinfachen kann oder mit denen man nur schlecht weiterrechnen oder gar weiterarbeiten kann.

Klar, beim Ausmultiplizieren wird's manchmal schon wüst, aber in diesem Fall fände ich's persönlich einfacher. Und übersichtlich ist es ja auch noch.
Ist eben alles Geschmackssache. ;)

Gruß
Natalie

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

erstmal danke für eure Hilfe , aber immoment kapier ich nicht einmal mehr die einfachsten dinge in Mathe!

Lieber das Binom ausmultiplizieren und dann die einzelnen Glieder ableiten. ;)

Dann hast du noch nen Fehler beim Ableiten gemacht:
f(x)=[tex]e^{-x} [/tex]

f'(x)= - [tex]e^{-x} [/tex]

Ich hab jetzt erstmal versucht das Binom aufzulösen und bin zu diesem Ergebnis gekommen:

e^(2-x) -4ke^(-x) +16k

keine Ahnung ob das richtig ist!?!?

Außerdem weis ich auch nicht wie ich das zusammenfassen soll! da steht ja:

[tex]e^{-x} \cdot (e^{-x}-2k)[/tex]

und dann würde ich das ausmultiplizieren, also e^(-x) * e^(-x) als erstes, aber was kommt da raus? Ich bin soweit gekommen, dass das so aussieht:

e^2
----
x^2

das soll ein Bruch sein ;),
aber wie gehts dann weiter?

so:

e^(2-x^2) ????

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Hi,

e^(2-x) -4ke^(-x) +16k

Das stimmt leider nicht ganz.
[tex](e^{-x})^2=e^{-2x}[/tex]
Die Exponenten werden multipliziert.
[tex]\ -4 k e^{-x}[/tex] stimmt.
Aber wie du auf die 16k kommst, ist mir rätselhaft.
[tex](2k)^2=4k^2[/tex]

Außerdem weis ich auch nicht wie ich das zusammenfassen soll! da steht ja:

e^{-x} \cdot (e^{-x}-2k)

[tex]e^{-x} \cdot e^{-x}[/tex]
Weil gleiche Basis und mal werden die Exponenten zusammengezählt, also [tex]e^{-2x}[/tex]

Ich empfehle dir die Potenzrechenregeln nochmal anzuschauen:http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Definition

Gruß
Natalie

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

vielen dank!!!!! Du hast mir echt weitergeholfen!
und ja ich guck mir das nochmal an

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Ich weis einfach nicht weiter könnt ihr mir noch ein bischen weiter helfen? Ich weis nicht wie ich das Ableiten soll!

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Hi,
wenn du eine e-Funktion ableiten willst, gilt die Kettenregel.
"Innere mal äußere Ableitung".
Hilft das?

Gruß
Natalie

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

ja die regel kenne ich, aber ich weis nicht, wie ich sie anwenden soll!
ich hab auch mal gehört, dass der term, der ein e hat auch in der Ableitung unverändert bleibt?! stimmt das?

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

ich hab auch mal gehört, dass der term, der ein e hat auch in der Ableitung unverändert bleibt?! stimmt das?

Stimmt, ja. e^x abgeleitet bleibt e^x.
Aber bei der Aufgabe hier, musst du die Kettenregel anwenden.

Schauen wir uns zuerst mal das erste hier an: [tex]e^{-2x}[/tex]
Das innere Glied ist hier -2x und das äußere [tex]e^{-2x}[/tex] insgesamt.
Jetzt brauchst du die Kettenregel, die besagt, innere Ableitung mal äußere.
Du machst also nichts anderes, als diese beiden Glieder einzeln abzuleiten und dann mal zu nehmen.

Gruß
Natalie

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

ist e^(-2x) dann abgeleited -2 * e^(-2x) ?

also -2x abgeleited ist ja -2 oder? und e^(-2x) bleibt ja und dann innere Ableitung (-2) mal Äußere Ableitung e^(-2x).

ist das richtig?

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

ist e^(-2x) dann abgeleited -2 * e^(-2x) ?

Genau so ist es. Prima

Und beim nächsten genauso.

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

beim nächsten bin ich mir leider nicht mehr so sicher!
also innere Ableitung:
-x wir -1 und -4ke^(-x) wird ?

4k würde ja teoretisch wegfallen, aber da ist ja noch das e^(-x) und das bleibt ja, oder?

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Das 4k ist ne Konstante, die aber mit dem "mal" an das e gebunden ist. Somit fällt sie nicht weg, sondern bleibt einfach unverändert stehen. Stell dir vor, das wär ne ganz normale Zahl.
Die innere Ableitung ist -1. Das stimmt. Und jetzt mit der Kettenregel alles miteinander verrechnen.

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

also -1 * 4ke^(-x) ???

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

Nicht ganz.
Du musst die Vorzeichen beachten.
Der Ausdruck heißt [tex] \ -4ke^{-x}[/tex].
Wie du schon sagtest, innere Ableitung ist -1.
Äußere bleibt: [tex] \ -4ke^{-x}[/tex]
Beides mal nehmen, wird dann zu +

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

also bleibt dann da +4ke^(-x) stehen? und was geschieht aus den 4k^2?
das fällt aber weg oder?

 

[lonesome-dreamer]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

das fällt aber weg oder?

Ja. Du leitest ja nach x ab und da in dem Ausdruck kein x drin ist, fällt das weg.

 

[ML2000]

AW: Ableitung mit dem Produktregel bilden

okey, dann bedanke ich mich mal recht herzlich für deine nachhilfestunde ! Du hast mir echt weiter geholfen!! ich versuche nochmal die 2 und 3 ableitung zu bilden, damit ich eine kurvendiskusion machen kann. Wenn ich wieder ein problem habe melde ich mich nochmal ;)
Vielen Dank
gruß Matthias