2 schnelle Gleichungen

Ich denke zumindest sie sind schnell zu lösen, wäre nur nicht das Problem, dass ich immer noch nicht draufkomme wie... :(

[tex]\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 3[/tex]

und

[tex]\frac{x+2a}{4ax+1}=\frac{ax+a}{x+a}[/tex]

Ich weiss leider nicht weiter wie. Hoffentlich ist jemand da der mir helfen kann :(

Ich muss es bis morgen früh haben o_O
 
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HI!

Na dann hau mal rein :)

Was hast Du denn schon probiert?

beim ersten - quadrieren (vielleicht vorher noch etwas umstellen) und dann mal weiterschauen - wahrscheinlich wieder umstellen und quadrieren...

beim 2. - einfach mal mit den Nennern multiplizieren und dann sortieren.

cu
Volker
 
AW: 2 schnelle Gleichungen

[tex]\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 3[/tex]
Das ist eine blöde Aufgabe aus der Trickkiste, Lisa:
Quadriert man und multipliziert aus, kommt man in den Urwald, obwohl das die richtige Methode wäre.
[tex]\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} = 3 - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} [/tex] ... beidseits quadrieren

[tex]{x+2+2\sqrt{x+1} = 9 + \(x+5-4\sqrt{x+1}\) - 6\cdot \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} [/tex] ...ordnen
... und so fort

In Wirklichkeit geht alles auf, wenn man z.B. x = 0 setzt.

Ich versuche es mit der Substitution [tex]z=\sqrt{x+1} [/tex]

[tex]\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 3 \\ \\
\sqrt{x+1 +1+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+1 +4-4\sqrt{x+1}} = 3 \\ \\
\sqrt{z^2 +1+2z} + \sqrt{z^2 +4-4z} = 3 [/tex]

jetzt sehen wir die binomischen Formeln:
[tex]\sqrt{(z+1)^2} + \sqrt{(z+2)^2} = 3 \\
\pm (z+1) \pm (z-2) = 3 \\
bei +,+: \ 2z - 1 = 3 \ \ z = 2 \\
bei +,-: \ und für -,+: z beliebig \\
bei -,-: \ z = -2[/tex]
... jetzt noch rücksubstituieren:
 
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Auch die 2. Aufgabe geht auch für jedes x bei a=1/2

oder
[tex]x=\frac{-a}{2a+1} \pm \frac{\sqrt{3a^2+a}}{2a+1}[/tex]
 
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Kann man die Substitution in solchen fällen anwenden?

Bzw. kann man die immer anwenden?
 
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HI!

@ Kalibert: wie sieht denn die ordentliche Lösung aus?
???

hab ich aber auch ehrlich gesagt keine Lust auszurechnen, da der Originalposter (obwohl es ja so dringend war) sich bisher nicht wieder gemeldet hat...

Also hast auch Du Dir wohl die Mühe umsonst gemacht, weil da halt mal wieder jemand schnell seine Hausaufgaben erledigt haben wollte, aber keine Lust hat selbst etwas zu tun o_O:?:mad::mecker:

cu
Volker
 
AW: 2 schnelle Gleichungen

Also hast auch Du Dir wohl die Mühe umsonst gemacht
Macht nichts, Volker, hat mir trotzdem Spaß gemacht - und ich habe wieder was gelernt. Allerdings habe ich das trotzdem noch nicht vollständig verstanden, denn es erfüllt ja wohl fast jedes x die 1. Gleichung, oder?

Ich hatte schon mal eine Aufgabe mit ebenfalls zwei Wurzeln:
Gibt es da nicht eine einfachere Methode?
[tex]\sqrt(52+4*x) + \sqrt(52-4*x) = 12[/tex]
Zunächst sehe ich schon, kann man die 4 aus der Wurzel rausziehen
[tex]2 *sqrt(13+x) + 2*sqrt(13-x) = 12[/tex]
und dann gleich noch durch 2
[tex]sqrt(13+x) + sqrt(13-x) = 6[/tex]
Jetzt sieht man, die Sache ist symmetrisch zu x = 0 und x darf nur zwischen -13 und +13 sein, da sonst eine der Wurzeln imaginär wird. Probieren wir, da Gleichungen in Schule und UNI meist aufgehen: 13 geht nicht --- 12 schon haben wir eine Lösung. Wegen der Symmetrie muss -12 auch gehen --- tatsächlich!
[tex]sqrt(13+12) + sqrt(13-12) = 6[/tex] aha [tex]sqrt(25) + sqrt(1)=6[/tex] können wir im Kopf rechnen

Gut lassen wir uns noch den Graphen zeichnen um zum Spaß herauszufinden, welche mathematische Figur das ist:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
Hier können wir noch mit der Taste 'Nullstellen' unser Ergebnis prüfen.
Nehmen wir die Wurzeln mit +- und zeichnen die vier Äste der Kurve [tex]y = +-sqrt(13+x)+-sqrt(13-x)[/tex]

Wir sehen eine Lissajous-Figur (vom Oszi-Versuch bekannt), deren Parameterdarstellung ist
[tex]y = {2}\cdot{sqrt(13)} \cdot sin(t)[/tex] und [tex] x = 13 \cdot sin(2t)[/tex]
Aus der Formelsammlung sin(t) = fkt( 2t )
[tex]2 \cdot sin(t) = sqrt(1+sin2t) - sqrt(1-sin(2t)[/tex] ...eingesetzt und die +- für die vier Quadranten
[tex]\frac{y}{sqrt(13)} = +- sqrt(1+\frac{x}{13}) -+ sqrt(1-\frac{x}{13}[/tex] die 13 wieder multiplizieren gibt unsere Ausgangsformel
[tex]y = +-sqrt(13+x) +- sqrt(13-x)[/tex]
 
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Also ich habe mir die 1. Aufgabe mal vorgenommen. Kann mir jemand sagen, ob ich so richtig gerechnet habe ? Denn wenn ich mein Ergebnis auf der linken Seite für X einsetze, dann kommt bei mir auch auf der rechten Seite +3 raus ...

... also hier mal mein Lösungsansatz :

[tex]\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 3 [/tex] / alles quadrieren

[tex]x+2+2 \sqrt {x+1} + x+5-4 \sqrt {x+1} = 9[/tex] [tex]/ * (x+1)[/tex]

[tex]x(x+1)+2(x+1)+2(x+1)+x(x+1)+5(x+1)-4(x+1)=9(x+1)[/tex] [tex]/(x+1) ausklammern[/tex]

[tex](x+1)*(x+2+2+x+5-4)=9(x+1)[/tex]

[tex](x+1)*(2x+5)=9(x+1)[/tex] [tex]/ : (x+1)[/tex]

[tex]2x+5=9[/tex]

[tex]x=2[/tex]


Probe :

[tex]\sqrt{2+2+2\sqrt{2+1}} + \sqrt{2+5-4\sqrt{2+1}} = 3 [/tex]
 
L

lonesome-dreamer

Gast
AW: 2 schnelle Gleichungen

Hi,
du hast schon beim ersten Schritt nen Fehler drin. Wenn du quadrierst, musst du beim Ausmultiplizieren berücksichtigen, dass die Regel für die 1. Binomische Formel gilt, weil die beiden großen Wurzeln mit einem "+" verknüpft sind.

Gruß
Natalie
 
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