2-malige Integration nach r

Dieses Thema im Forum "techn. Mechanik" wurde erstellt von arjun, 26 Dez. 2012.

  1. Hallo Leute , wie leite ich diese Funktion 2 Mal nach r auf? Da sind 2 Randbedingungen mit gegeben , aber mich würd erst mal interessieren wie ich das generell aufleite. Mich verwirren dieses delta und so weiter .
    Danke euch schonmal! die lösung hab auch mit hochgeladen aber ich komme selber nicht auf die lösung

    oder kann mir vielleicht jemand erstmal sagen wie ich daraus ne ganz normale funktion bekomme die ich dann mit gewohnten mitteln aufleiten kann? wie krieg ich das delta und so weg???
     

    Anhänge:

  2. AW: 2-malige Integration nach r

    Die von dir gemalten Delta sind normal partielle Ableitungen, die man bei Funktionen mit mehren Variablen verwendet anstelle des d bei Funktionen mit einer Variablen.
    Da in deiner Funktion mehr Variablen sind mit h,p,r nimmt man diese komischen Delta her.
    Was da unter dem Bruch steht hinter der 12 kann ich nicht entziffern ne 7 oder n k , nehm aber eher an ne 7 .
    Das Linke delta /delta r bedeutet du musst alles in der Klammer erstmal nach r ableiten.
    Das in der Klammer Dp/Dr bedeutet p wird nach r abgeleitet .

    Wenn man zuerst die Klammer ableitet nach r dann bleibt h³/127 als Konstanter Faktor vor der Klammer.
    Dann muss auf das noch in der Klammer verbleibende " r*Dp/Dr" die Produktregel angewendet werden, weil das n Produkt ist : So Striche sind Ableitungen nach r also d/dr=´
    r`*Dp/Dr+r*(Dp/Dr)` =dr/dr*Dp/Dr+r*Dp/d²r = Dp/Dr +r*D²p/d²r

    Man hat dann h³/127 *(Dp/Dr +r*Dp/d²r)=0 . Das ist eine homogene Differentialgleichung 2 ter Ordnung, die man lösen muss.
    Homogen , weil rechts die 0 steht und damit kein Störterm vorhanden ist.
    Man kanns auch so schreiben: h³/127 *(p`+rp``)=0 , wobei die Striche für Ableitungen nach r stehen.
    Die Allgemeine Lösung davon ist p(r)=In(r)*C2+C1, wie man ausrechnen kann .
    Nun gibts die Randwerte , die ich nicht gescheit entziffern kann, ich vermute es soll p(g)=pt und p(R)=0 heißen.

    Einsetzten in p(r)=In(r)*C2+C1 ergibtdann die 2 Konstanten:
    p(R)=In(R)*C2+C1=0 und p(g)=In(g)*C2-In(R)*C2 =pt
    Die 2 Gleichungen ergeben dann C1 und C2 . Z.B.kann mans mit Einsetzmethode lösen:
    C1=-In(R)*C2
    => p(g)=In(g)*C2-In(R)*C2 =pt
    => C2(In(g)-In(R))=pt =>C2=pt/In(g/R)

    Damit wird C1=-In(R)*[pt/In(g/R)]

    Die spezielle Lösung der DGL ist damit , wenn man die berechneten Konstanten einsetzt folgende:

    p(r)=In(r)*C2+C1 =In(r)*pt/In(g/R)-In(R)*[pt/In(g/R)]
    mit etwas umformen kommt man damit dann auf die Lösung auf deinem Zettel:

    p(r)=In(r)*C2+C1 =In(r)*pt/In(g/R)-In(R)*[pt/In(g/R)]=pt[In(r)/In(g/R)-In(R)/In(g/R)]=-pt(In(R)-In(r))/In(g/r)=pt(-In(R)+In(r))/In(g/r)=pt*(In(R/r))/In(g/r)
     
  3. AW: 2-malige Integration nach r

    Achja wie man auf die Allgemeine DGl Lösung p(r)=In(r)*C2+C1 kommt kann ich auch noch schreiben:.

    Man formt ne DGl ay´´+by´+cy=0 zu aL²+bL+c=0 um und berechnet die L der Quadratischen Gleichung und setzt entsprechend der Lösungen dann die Eetsprechenden e Funktionen + Konstanten als Fundamentalbasis .
    Die DGL hier ist:
    h³/127 *(p`+rp``)=0umgeformt ,wenn mans nichtt sofort sieht:
    h³/127 *r*p``+h³/127 *p` =0

    Hier ist a=h³/127 *r und b=h³/127 und C=0 also sind die Lösungen von aL²+bL+c=0 wenn man die Werte per Pq Formel ausrechnet dann L1=0 und L2=-2, wenn man die Quadratische Gleichung löst.

    Dann hat man folgende allgemeine Lösung der Dgl : p(r)=C1+e^(0*r)+C2*e^(-2r)= C1+K*e^(-2r)

    Man kann nun die Kontante K als K=C2*In(r)*e^(2r) umschreiben, weil wenn man ne Konstante mit nem Faktor erweitert kommt wieder ne Konstante raus.
    Damit wird aus p(r)=C1+C2*e^(-2r)=C1+C2*In(r)*e^(2r)*e^(-2r) =C1+C2*In(r).

    So kommt man darauf.
     
  4. AW: 2-malige Integration nach r

    Ach habe mich verschaut, bei der Pq Lösung kommt 0 und -1/r raus.
    p(r)=C1+e^(0*r)+C2*e^(-1)= C1+K*e^(-1/r*r)
    Über Konstante umfomen kann man aber aus e^(-1) dann wieder In(r) machen und man kommt dann wieder auf p(r)=C1+C2*In(r).
     

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