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RLC-Schwingkreis

Dieses Thema im Forum "Elektrotechnik" wurde erstellt von hoschie2, 29 Jan. 2009.

  1. Hallo
    es hängt mal wieder.


    Ein RLC-Schwingkreis ist als Schaltung (Abb. 1) und als Blockschaltbild
    (Abb. 2) dargestellt.
    Anmerkung: Die Laplace-Variable ist hier mit „s“ anstatt mit „p“ angegeben,
    weil in der Literatur fast ausschließlich „s“ vorkommt.


    a.)Geben Sie die Differentialgleichung des Systems nach Abb. 1 an (mit
    Herleitung).

    b) Für Abb. 2 ist durch Zusammenfassen der Blöcke die Übertragungsfunktion
    F(s) = ua(s)/ue(s) anzugeben.

    c) Berechnen Sie im Zeit- oder Laplace-Bereich die beiden Zeitkonstanten
    T1 und T2 des Systems mit den Werten: R = 300 Ω, L = 10 mH,
    C = 1 μF.

    d) Berechnen und zeichnen Sie die Sprungantwort h(t).

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  2. AW: RLC-Schwingkreis


    a)

    ur+ul+uc=ue

    ur=R*i
    ul=L*di/dt

    i=C*duc/dt

    R*i+L*di/dt+uc=ue

    i ersetzen durch Formel C*duc/dt

    R*C*duc/dt +L*C*(duc/dt)^2+uc=ue

    uc ist aber auch ua

    R*C*dua/dt +L*C*(dua/dt)^2+ua=ue

    So sortiert steht es dann in allen Büchern.

    L*C*(dua/dt)^2+R*C*dua/dt +ua=ue

    b)

    Allgemein, Rückkoplung
    Ohne Rückkopllung: F(s) = F1(s)*F2(s)
    Mit Rückkopplung:

    1. Teil mit 1/Ls und R berechnen

    F1(s)= [1/(L*s)]/[1+R*1/(L*s)] = 1/(R+L*s)

    F(s) = ua/ue

    F(s) = [1/(R+L*s)]*[1/(C*s)] / { 1 + [1/(R+L*s)] * [1/(C*s)] }

    F(s) = 1/[ (R+L*s)*(C*s) + 1]

    F(s) = 1/(1+R*C*s+L*C*s*s)


    c)

    Falls es diese Formel ist:

    F(s) = Kp/(1 + s*T1 + (s*T2)^2)

    T1=R*C

    T2= Wurzel(L*C)

    R = 300 Ω, L = 10 mH, C = 1 μF

    T1 = 0,3ms
    T2 = 1ms


    d)

    Sprungantwort

    Nullstellen

    s1,2 = -R/(2*L) +/- Wurzel( ((R/(2*L))^2-1/(L*C) )

    s1,2 = -15000 +/- i*9886.86 Einheit ist 1/s

    http://www.mertech.de/rt/rt_03.html

    ua(s)/ue(s) = F(s)

    ua(s) = ue(s)*F(s)

    Sprungfunktion: ue(s)=1/s

    ua(s) = 1/[s*(1+R*C*s+L*C*s*s)]

    Die Lösung ergibt dann wegen komplexer Nullstellen eine Funktion
    mit ...e^(-kx)*(..sin()...+...cos())
    Die genaue Formel steht in der Tabelle der Laplace-Transformation
    oder auch in Büchern zur Regelungstechnik. Man muss halt erst die
    Koeffizienten im Nenner auf die Form wie in der Tabelle umformen.

    Helmut
  3. AW: RLC-Schwingkreis

    Danke danke. hatte die Lösung auch gerade fast fertig. ist nur ein wenig anders. werde sie mal einscannen, dann könntest du mir ja eventuell sagen wo ich falsch lag.
  4. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo hoschie2,

    was hattest Du genau anders?

    Danke und Gruß
    Michael
  5. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo Helmut,

    du gibst folgende Standard Übertragungsfunktion für ein PT2-Glied an:
    F(s) = Kp/(1 + s*T1 + (s*T2)^2)

    Mir sind aber nur folgende 3 bekannt:
    F(s) = Kp/ [(1 + sT1)(1+sT2)]
    F(s) = Kp/ [1 + sT1 + s(T2)^2]
    F(s) = Kp/ [1 + 2dTs + (sT)^2]

    Inwiefern komme ich nun auf Deine Übertragungsfunktion, wo (s*T2)^2 steht? Bei mir steht eben (bei der 2.Gleichung) nur die Zeitkonstante T2 im Quadrat, das s eben nicht.

    DANKE!
  6. AW: RLC-Schwingkreis

    Deshalb ist ja auch deine 2. Gleichung falsch. Da muss s^2 stehen,
    sonst wäre es ja kein PT2 sondern PT1.
    Korrigiere das mal ganz schnell in deinem Aufschrieb.
  7. AW: RLC-Schwingkreis

    stimmt, dies habe ich durcheinander gebracht.

    Noch eine Frage zur Sprungantwort: Die Sprungantwort kann ich doch folgendermaßen bilden:
    h(t)=L^-1 {F(s) 1/s}

    Warum berechnest Du aber zuerst die Nullstellen? Und warum kommst Du mit der pq-Formel auf folgende Zeile?
    [FONT=&quot]s1,2 = -R/(2*L) +/- Wurzel( ((R/(2*L))^2-1/(L*C) )[/FONT]
  8. AW: RLC-Schwingkreis



    Habe gerade mal die Zahlen eingesetzt und gesehen, dass das System
    gedämpft ist (zwei reelle Pole). Das hatet ich in meiner ersten Lösung übersehen.

    Aus b)

    F(s) = 1/(1+R*C*s+L*C*s*s)

    F(s) = 1/(1+300*1u*s+10m*1u*s^2)


    Man kann also durchaus schreiben

    F(s) = Kp/((1 + s*T1)*(1 + s*T2))

    F(s) = Kp/(1 + s*(T1+T2)) + s^2*T1*T2)


    Durch Koeffizientenvergleich mt b)

    T1+T2 = R*C

    T1*T2 = L*C

    Ergibt eine quadratische Gleichung für T1

    T1^2-T1*R*C+L*C=0

    Lösung:

    T1 = R*C/2 + Wurzel((R*C/2)^2-L*C)

    T2 = R*C/2 - Wurzel((R*C/2)^2-L*C)


    R = 300 Ω, L = 10 mH, C = 1 μF

    T1 = 0,2618ms

    T2 = 0,0382ms

    F(s) = 1/(1 + s*0,000261:cool:*(1+ s*0,0000382)

    Achtung, T1 und T2 haben die Einheit s(ekunde). Nicht verwechseln mit s für Laplace.

    Sprungantwort: Zusätzlich Faktor 1/s

    L(s) = 1/s * 1/(1 + s*0,000261:cool:*(1+ s*0,0000382)


    Die Lösung gibts dann in den Tabellenbüchern: Laplace <-> Zeitbereich

    Helmut
  9. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo Helmut,

    Du hast geschrieben:
    Habe gerade mal die Zahlen eingesetzt und gesehen, dass das System
    gedämpft ist (zwei reelle Pole). Das hatte ich in meiner ersten Lösung übersehen.

    -> Woran erkenne ich nun vorher, ob ein System gedämpft ist? Du hast z.B. anfangs die Zeitkonstanten T1 = 0,3ms und T2 = 1ms berechnet. Wie bist Du nun drauf gekommen, dass dies falsch ist?

    Gruß Michael
  10. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo,

    das war nicht unbedingt falsch, aber auf Grund der Werte in die falsche
    Richtung weiter gerechnet.

    F(s) = 1/ [1 + 2dTs + (sT)^2] (1)

    Wenn die Dämpfung D > 1 ist, dann hat man den Fall "großer" Dämfung.
    Dann lässt sich das als PT2 darstellen. Das muss man aber nicht unbedingt
    machen. Man muss allerdings in der Laplace-Tabelle die richtige Lösung
    in Abhängigkeit der Dämpfung heraussuchen.

    F(s) = 1/(1+300*1u*s+10m*1u*s^2) (2)

    T= 0.1ms

    Koeffizientenvergleich (1) und (2)

    2*d*T = 2*d*0,1ms = 0,3ms

    d = 1,5 also d>1

    Helmut
  11. AW: RLC-Schwingkreis

    Habe ich das so richtig verstanden:

    Die Formel für die Laplace-Rücktransformation hängt vom Dämpfungsgrad d ab.

    Für für d<1 könnte ich z.B. die Formel in Zeile 20 nutzen (siehe beiliegende Datei)?

    Was wäre bei d=1? Welche Formel könnte ich für d>1 nutzen?

    Danke!

    Anhänge:

  12. AW: RLC-Schwingkreis


    d<1 Formel 20

    d=1 Formel 7

    d>1 Formel 15
  13. AW: RLC-Schwingkreis

    Danke Helmut,

    so langsam verstehe ich das alles etwas besser. :)

    Mit o.g. Laplace-Tabelle komme ich dann auf den Zeitbereich, also f(t). Ist das dann die Sprungantwort oder die Übergangsfunktion? Gibts eigentlich einen Unterschied zw. der Sprungantwort und der Übergangsfunktion? Oder ist das das gleiche?
  14. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo,

    habe gerade gegoogelt. Sprungantwort und Übergangsfunktion ist dasselbe.

    Helmut
  15. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo Helmut,

    ich versteh noch nicht so ganz wie du auf den Faktor 1/s kommst.

    Orginalfunktion: f(t)=L^-1(F(s)) :f(t)
    Bildfunktion:F(s)=L(f(t)) :1/s

    Ist das die Umwandlung in den Bildbereich?

    Danke
    Gruß
    Peter
    PeterPan2010 gefällt das.
  16. AW: RLC-Schwingkreis


    L' sei die Rücktransformation also L^-1
    * ist der Faltungsoperator


    f1(t)*f2(t) = L'(F1(s)F2(s))

    f1(t) = 1 also Sprung, f1(t) o----o F1(s) = 1/s
    f2(t) ist die Impulsantwort von F2(s), f2(t) o---o F2(s)

    Seite 4
    http://www.enas.de/fos/fhsoest/faecher/pspice/Elektronische Regler_010605.pdf
  17. AW: RLC-Schwingkreis

    Hi Helmut,

    hab mal ein Paar Werte in die Sprungfunktion eingesetzt.
    Diese Kurve ähnelt doch in keinsterweise einer Sprungfunktion eines PT2 Glieds?
    Oder ist das so in Ordnung?

    Gruß
    Peter

    Anhänge:

  18. AW: RLC-Schwingkreis

    Falls es sich um diese Funktion hier handelt, dann wäre dein Bild falsch.

    L(s) = 1/s * 1/[(1 + s*0,0002618 )*(1+ s*0,0000382)]

    L(s) = 1/[s*(1+a*s)*(1+b*s)]

    f(t) o------o L(s)

    f(t) = 1 + ( a*e^(-t/a) -b*e^(-t/b) )/(b-a)

    a=0,0002618, b=0,0000382

    Das ist die Differenz von zwei e-Funktionen.

    Anhänge:

  19. AW: RLC-Schwingkreis

    Hallo an Alle,

    leider steh ich total aufm Schlauch

    Für die Zeitkonstante bekomm ich aufs Gebrechen keinen anderen Wert als 300 us raus.

    T1 = R*C/2 + Wurzel((R*C/2)^2-L*C) aus Beitrag 8

    RC = 300ohm*1uF=300us
    Lc = 10mH*1uF=0,01us^2

    Wo liegt mein Fehler ?
    Bitte helft mir
  20. AW: RLC-Schwingkreis


    T1 = R*C/2 + Wurzel((R*C/2)^2-L*C)

    T2 = R*C/2 - Wurzel((R*C/2)^2-L*C)


    R = 300 Ω, L = 10 mH, C = 1 μF

    T1 = 150e-6s + Wurzel((150e-6)^2 - 10e-3*1e-6)s

    T1 = 150e-6 s+ 111.8e-6s

    T1 = 261,8e-6s

    T1 = 0,2618ms

    T2 = 0,0382ms

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